Григорий Перельман

root

Administrator
Команда форума
#2
При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению {\displaystyle (0,1)\times S^{2}} (0,1)\times S^{2}), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии {\displaystyle M} M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие {\displaystyle M} M можно представить как набор сферических пространственных форм {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}} S^{3}/\Gamma _{i}, соединённых друг с другом трубками {\displaystyle [0,1]\times S^{2}} [0,1]\times S^{2}. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что {\displaystyle M} M диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}} S^{3}/\Gamma _{i} и более того все {\displaystyle \Gamma _{i}} \Gamma _{i} тривиальны. Таким образом, {\displaystyle M} M является связной суммой набора сфер, то есть сферой.
 
Вверх